Birebir örten fonksiyon; tanım kümesindeki her elemanın ölçüt kümesinde tek ve tek bir karşılığı varsa fonksiyon birebirdir. Örneğin;

F: R›R ve f (X)=2x-5

X değiştikçe 2 katının 5 fazlası da değişecektir. Bunu ispatlayacak olursak; iki farklı elemanın x1 ve x2nin fotoğrafları eşdeğer olsun.

X1?x2f (X1)2x1-5x1=f (X2)=2x2-5=x2

Görüntüleri eşitleyen denklemin bir çözümü x1=x2'dir. Fakat biz x1?x2 alırsak, tersi bir örnekle ek olarak daha iyi anlaşılacaktır.

Örnek: f: R›R ve f (X)=x2-2 ise fonksiyon bire-bir midir?

Çözüm: bu durumda hem f (-3)=7 hem de f (3)=7 çıkmaktadır. Her sayının hem bir olumsuz hem bir de olumlu değeri benzer görüntüyü vermektedir. Başka bir anlamda fonksiyon bire bir değildir. Daha önceki örnekteki benzeri genel bir çözüm yaparsak:

X1?x2f (X1) x21x1=f (X2)=x22?=x2 ve x1=-x2

Görüntüleri eşitleyen denklemin 2. Bir çözümü de bulunmaktadır. Bir tanesi x1=x2 olmalı, fakat diğeri, bir tanesi diğerinin aykırı işaretlisi olabilmektedir. Bu örnekten anlaşılacağı gibi bir puan da yalnızca x'in çift üslerini bulunduran fonksiyonlar şayet tanım kümesi uygunsa bire bir fonksiyondur. Yukarıdaki örnekte fonksiyon bu şekilde tanımlansaydı birebir örten fonksiyon olacaktı.

Örnek: Aşağıda bağıntılardan hangileri bir fonksiyon değildir. İnsanlar kümesinden meslekler kümesine tanımlanan ve her insanı bizzat mesleği ile eşleştiren bağıntı bir fonksiyon mudur?

Çözüm: bu bağıntının fonksiyon olması amaçlı her kişinin en çok miktarda bir ve en az bir adet mesleği olmalıdır. Halbuki gerçekte birtakım kişilerin 2 mesleği meydana geldiği benzeri birtakım insanlarında mesleği olmayabilir. Bu bağıntı bir fonksiyon olmamaktadır.

Birebir örten fonksiyona örnek: Hayvanlar kümesinden yuvalar kümesine tanımlanan ve her hayvanı bizzat yuvası ile eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur?

Çözüm: bu bağıntının fonksiyon olması amaçlı her hayvanın en fazla ve en az bir adet yuvası olmalıdır. Halbuki gerçekte birtakım hayvanların yuvalarının olmadığını bilmekteyiz. Bu bağıntı bir fonksiyon değildir.

Örnek: Çocuklar kümesinden babalar kümesine tanımlanan ve her çocuğu babası ile eşleştiren bağıntı bir fonksiyon mudur?

Çözüm: bu bağıntının bir fonksiyon olması amaçlıdır. Her çocuğun en fazla ve en az bir adet babası olmalıdır. Gerçekte her çocuğun kesinlikle bir babası vardır ve bir çocuğun 2 babasının olması ihtimali yoktur. Bu bağıntı bir fonksiyondur.

Birebir örten fonksiyona örnek: Bir fabrikadaki işçilerle aldıkları fiyatları eşleştiren bağıntı bir fonksiyon mudur?

Çözüm: bu bağıntı da fonksiyondur. Ama bedavaya personel olmayacağı amaçlı her işçinin bir fiyatı kesinlikle bulunmaktadır. Hiçbir patron bir işçiye 2 kat para vermeyeceğine göre her işçinin en çok miktarda bir adet fiyatı bulunmaktadır. Bu bağıntı bir fonksiyondur.

Fonksiyonlar çoğunlukla yapılmış olan eşlemeyi anlatan kurallarla verilir.