Birebir ve örten fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanın ölçüt kümesinde tek ve tek bir karşılığı varsa fonksiyon birebir 'dir. Örneğin;
F: R›R ve f (X)=2x-5
X değiştikçe 2 katının 5 fazlası da değişecektir. Bunu ispatlayalım. İki faklı elemanın x1 ve x2nin fotoğrafları eşdeğer olsun.
X1?x2f (X1)2x1-5x1=f (X2)=2x2-5=x2
Görüntüleri eşitleyen denklemin bir çözümü x1=x2'dir.
Fakat biz x1?x2 almıştık.
Tersi bir örnekle ek olarak daha iyi anlaşılacaktır.
Örnek: f: R›R ve f (X)=x2-2 ise fonksiyon bire-bir midir?
Çözüm: bu vaziyette, söz gelişi hem f (-3)=7 hem de f (3)=7 çıkar. Her sayının hem bir olumsuz hem bir de olumlu değeri benzer görüntüyü verir, başka bir deyişle fonksiyon bire bir değildir. Evvelki örnekteki benzeri genel bir kanıt yaparsak:
X1?x2f (X1) x21x1=f (X2)=x22?=x2 ve x1=-x2
Görüntüleri eşitleyen denklemin 2 çözümü var. Bir tanesi x1=x2 olmalı diyor, fakat ötekisi, bir tanesi diğerinin aykırı işaretlisi olabilmektedir diyor.
Bu örnekten anlaşılan bir puan da yalnızca x'in çift üslerini bulunduran fonksiyonlar şayet tanım kümesi uygunsa bire-birdir. Yukarıdaki örnekte fonksiyonu şu şekilde tanımlasaydık bire-bir olacaktı.
Örnek: Aşağıda bağıntılardan hangileri bir fonksiyon değildir.
İnsanlar kümesinden meslekler kümesine tanımlanan ve her insanı bizzat mesleği ile eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur?
Çözüm: bu bağıntının fonksiyon olması amaçlı her kişinin en çok miktarda bir ve en az bir adet mesleği olmalıdır.
Halbuki gerçekte birtakım kişilerin 2 mesleği meydana geldiği benzeri birtakım insanlarında mesleği olmayabilir. Bu bağıntı fonksiyon değildir.
- Hayvanlar kümesinden yuvalar kümesine tanımlanan ve her hayvanı bizzat yuvasıyla eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur?
Çözüm: bu bağıntının fonksiyon olması amaçlı her hayvanın en çok miktarda ve en az bir adet yuvası olmalıdır. Halbuki gerçekte birtakım hayvanların yuvalarının olmadığını biliyoruz. Bu bağıntı fonksiyon değildir.
- Çocuklar kümesinden babalar kümesine tanımlanan ve her çocuğu babasıyla eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur?
Çözüm: bu bağıntının fonksiyon olması amaçlı her çocuğun en çok miktarda ve en az bir adet babası olmalıdır. Gerçekte her çocuğun kesinlikle bir babası mevcuttur ve bir çocuğun 2 babasının olması bilimsel olarak da olası değildir. Bu bağıntı fonksiyondur.
UNUTMAYIN: Birden çok çocuğun benzer babaya sahip olması fonksiyon olmayı bozmaz.
- Bir fabrikadaki işçilerle aldıkları fiyatları eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur?
Çözüm: bu bağıntı da fonksiyondur. Zira bedavaya personel olmayacağı amaçlı her işçinin bir fiyatı kesinlikle bulunur. Hiçbir patron bir işçiye 2 para vermeyeceğine yönelik her işçinin en çok miktarda bir adet fiyatı bulunur. O takdirde bu bağıntı fonksiyondur.
Fonksiyonlar çoğunlukla yapılmış olan eşlemeyi anlatan kaidelerle verilir.
Örnek
F: A = {bir, 2, 3 } B.
F (X) = 2x + 3
Fonksiyonunun sıralı ikililerini yazalım: Burada tanım kümesinin elemanları (Orijinaller) verilmiş ama görüntüler verilmemiştir.
Fonksiyonun kuralında x mahaline orijinalleri yerleştirerek fotoğrafları bulacağız.
1 in imajı f (Bir) = 2.1 + 3 = 5
2'nin imajı f (2) = 2.2 + 3 = 7
3'ün imajı f (3) = 2.3 + 3 = 9
F = { (1,5), (2,7), (1, c), (3,9) } biçimde gösterilir.
