Tek fonksiyon; tanımlı olan tüm x değerleri için f (-x) = -f (X) oluyorsa bu tek fonksiyondur. F (-x)= f (X) oluyorsa bu bir çift fonksiyondur. Başka bir deyişle, başlangıç noktasına (0,0) göre simetrik olan tek fonksiyondur, y eksine göre simetrik fonksiyonlar ise çift fonksiyonlardır.
Tek fonksiyon özellikleri nelerdir?
- Bir fonksiyonun tek fonksiyon olması demek çift dereceli terimlerin katsayıları sıfır olmasıdır.
- Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.
- İki tek fonksiyonun çarpımı veya bölümü tektir.
- Biri tek diğeri çift fonksiyonun çarpımı veya bölümü tek fonksiyondur.
- Tek fonksiyonları toplamı tektir.
- Tek fonksiyonların tek tamsayı kuvvetleri tektir. Çift tamsayı kuvvetleri çifttir.
- F tek ise fof tektir. F çift ise fof çifttir.
Örnek 1: f (X) = sinx +3x –x3 fonksiyonu tek mi çift midir?
Çözüm: f (-x) = sin (-x) + 3(-x) -(-x)3
= -sinx -3x +x3
= -(Sinx +3x –x3)
= -f (X) olduğundan tek fonksiyondur.
Örnek 2: f (X) = x2 + 4 -cosx fonksiyonu tek mi çift midir bulunuz?
Çözüm: f (-x) = (-x)2 + 4 -cos (-x)
= x2 + 4 -cosx
= f (X) olduğundan çift fonksiyondur.
Örnek 3: f (X) = x2 + x3 -3 fonksiyonu tek mi çift midir?
Çözüm: f (-x) = (-x)2 + (-x)3 -3
= x2 – x3 -3 olduğundan bu ne tek ne de çift fonksiyondur.
Örnek 4: f (X) = 0 fonksiyonu tek mi çift midir?
Çözüm: f (-x) = f (X) = -f (X) = 0
Olduğundan fonksiyon hem tek hem de çifttir.
Örnek 5: f: R→ R f (X)= (A+6).x8+(B-9)4+(A+2).x5+(B+5) x fonksiyonunun grafiği orijine göre simetrik ise a+b=?
Fonksiyonun grafiği orijine göre simetrik olduğundan dolayı bu fonksiyon tek fonksiyondur. Bu sebeple derecesi çift olan terimlerin katsayıları 0'dır.
A+6=0 b-9=0 a=-6 b=9 a+b= -3 olur.
Örnek 6
Aşağıdakilerin tek ve çift fonksiyon olma durumlarına bakalım.
F (X)= x⁴+5x²-7 fonksiyonunda çift kuvvetli bilinmeyenler olduğundan çift fonksiyondur.
F (X)= x⁵+x³fonksiyonu tek kuvvetli bilinmeyenlerden oluşmuştur ve bu sebeple tek fonksiyondur.
F (X)= x²-x fonksiyon ne tektir ne de çifttir.
F (X)= x.|x| fonksiyonunun tek mi çift mi olduğunu anlamak için f (-x) durumuna bakalım.
F (-x)= -x.|-x|= -f (X) olduğundan tek fonksiyondur.
Örnek 7
F (X) fonksiyonun grafiği orjine göre simetrik olduğuna göre.
F (X)+3f (-x)= x³+x ise f (2)=?
Çözüm: Grafiğin orjine göre simetrik olmasından fonksiyonun tek fonksiyon olduğunu anlaşılmaktadır.
F (-x)= -f (X) yazabiliriz.
F (X)-3f (X) =x³+x.
-2f (X) =x³+x.
X=2 için f (2) fonksiyonunu bulalım.
-2f (2)=10 ise f (2)= -5 şeklinde bulunur.
Örnek 8
F (X) tek fonksiyon g (X) çift fonksiyon olmak üzere, f (-5)=3, g (3)=7 ise g (F (5))+g (-3) ifadesi neye eşittir?
Çözüm
F (-x)= -f (X)
g (-x)= g (X) şeklinde ise.
F (-5)= -f (5) = >f (5)= -3 olur.
G (-3)+g (-3)= 2g (-3)= 2.7=14 bulunur.
