Bir fonksiyonun sürekli olması ne anlama gelir?

Bu koşullar, bir noktanın çevresindeki her küçük değişimin, o noktanın fonksiyon değerine yansımasını sağlamaktadır. Bunun matematiksel ifadeye dökülmesi ise şöyle yapılabilir: Eğer bir fonksiyon \( f(x) \) noktası \( a \) etrafında sürekli ise,\[\lim_{x \to a} f(x) = f(a) \]eşitliği sağlanmalıdır.

Kullanıcılar için sürekli veya kesikli fonksiyonların daha iyi anlaşılabilmesi amacıyla bazı örnekler üzerinden geçmek faydalı olacaktır. Sürekli Fonksiyon Örneği:- Polinom fonksiyonları, genellikle sürekli fonksiyonlardır. Örneğin, \( f(x) = x^2 \) fonksiyonu, tüm reel sayılar için sürekli bir fonksiyondur. Kesik Fonksiyon Örneği:- \( f(x) \) fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanırsa:\[f(x) = \begin{cases}3 & \text{if } x< 2 \\5 & \text{if } x = 2 \\3 & \text{if } x >2\end{cases}\]Bu durumda, \( f(x) \) fonksiyonu \( x = 2 \) noktasında sürekli değildir. Çünkü limit değeri, fonksiyonun o noktadaki değeriyle eşit değildir.

Sürekli fonksiyonlar, belirli bazı özelliklere sahiptir. Bu özellikler arasında şunlar bulunmaktadır:

• İki sürekli fonksiyonun toplamı, farkı ve çarpımı yine sürekli bir fonksiyon oluşturur.
• Bir sürekli fonksiyonun tanım kümesinin açık bir aralığı sınırlı ise, bu fonksiyonun minimum ve maksimum değerleri vardır (Weierstrass Teoremi).
• Bir sürekli fonksiyon, tanım kümesi üzerinde her noktada limit değeri alır.
• Bir sürekli fonksiyon, kapalı ve sınırlı bir aralıkta, en az bir kez her değeri alır (Intermediate Value Theorem).