Tek Fonksiyon

Tek fonksiyon; tanımlı olan tüm x değerleri için f (-x) = -f (x) oluyorsa bu tek fonksiyondur. f (-x)= f(x) oluyorsa bu bir çift fonksiyondur. Başka bir deyişle, başlangıç noktasına (0,0) göre simetrik olan tek fonksiyondur, y eksine göre simetrik fonksiyonlar ise çift fonksiyonlardır.

Tek fonksiyon özellikleri;

• Bir fonksiyonun tek fonksiyon olması demek çift dereceli terimlerin katsayıları sıfır olmasıdır.
• Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.
• İki tek fonksiyonun çarpımı veya bölümü tektir.
• Biri tek diğeri çift fonksiyonun çarpımı veya bölümü tek fonksiyondur.
• Tek fonksiyonları toplamı tektir.
• Tek fonksiyonların tek tamsayı kuvvetleri tektir. Çift tamsayı kuvvetleri çifttir.
• f tek ise fof tektir. f çift ise fof çifttir.

Örnek 1: f(x) = sinx +3x –x3 fonksiyonu tek mi çift midir?
Çözüm: f (-x) = sin (-x) + 3(-x) -(-x)3
= -sinx -3x +x3
= -(sinx +3x –x3)
= -f(x) olduğundan tek fonksiyondur.

Örnek 2: f(x) = x2 + 4 -cosx fonksiyonu tek mi çift midir bulunuz?
Çözüm: f(-x) = (-x)2 + 4 -cos(-x)
= x2 + 4 -cosx
= f(x) olduğundan çift fonksiyondur.

Örnek 3: f(x) = x2 + x3 -3 fonksiyonu tek mi çift midir?
Çözüm: f(-x) = (-x)2 + (-x)3 -3
= x2 – x3 -3 olduğundan bu ne tek ne de çift fonksiyondur.

Örnek 4: f(x) = 0 fonksiyonu tek mi çift midir ?
Çözüm: f (-x) = f(x) = -f(x) = 0

olduğundan fonksiyon hem tek hem de çifttir.

Örnek 5: f:R→R f(x)= (a+6).x8+(b-9)4+(a+2).x5+(b+5)x fonksiyonunun grafiği orijine göre simetrik ise a+b=?

fonksiyonun grafiği orijine göre simetrik olduğundan dolayı bu fonksiyon tek fonksiyondur. Bu sebeple derecesi çift olan terimlerin katsayıları 0 dır.

a+6=0 b-9=0 a=-6 b=9 a+b= -3 olur.

Örnek 6:

Aşağıdakilerin tek ve çift fonksiyon olma durumlarına bakalım.

f(x)= x⁴+5x²-7 fonksiyonunda çift kuvvetli bilinmeyenler olduğundan çift fonksiyondur.

f(x)= x⁵+x³ fonksiyonu tek kuvvetli bilinmeyenlerden oluşmuştur ve bu sebeple tek fonksiyondur.

f(x)= x²-x fonksiyon ne tektir nede çifttir.

f(x)= x.|x| fonksiyonunun tek mi çift mi olduğunu anlamak için f(-x) durumuna bakalım.

f(-x)= -x.|-x|= -f(x) olduğundan tek fonksiyondur.

Örnek 7:

f(x) fonksiyonun grafiği orjine göre simetrik olduğuna göre,

f(x)+3f(-x)= x³+x ise f(2)=?

Çözüm: Grafiğin orjine göre simetrik olmasından fonksiyonun tek fonksiyon olduğunu anlaşılmaktadır.

f(-x)= -f(x) yazabiliriz.

f(x)-3f(x) =x³+x

-2f(x) =x³+x

x=2 için f(2) fonksiyonunu bulalım.

-2f(2)=10 ise f(2)= -5 şeklinde bulunur.

Örnek 8:

f(x) tek fonksiyon g(x) çift fonksiyon olmak üzere, f(-5)=3, g(3)=7 ise g(f(5))+g(-3) ifadesi neye eşittir?

Çözüm:

f(-x)= -f(x)
g(-x)= g(x) şeklinde ise,

f(-5)= -f(5) = >f(5)= -3 olur.

g(-3)+g(-3)= 2g(-3)= 2.7=14 bulunur.