Fonksiyon, A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, tanım kümesi olan A'nın, değer kümesi olan B'deki yalnızca bir eleman ile eşleşen ilişkiye verilen isimdir. Fonksiyon genellikle f(x) şeklinde gösterilir. Bir ilişkinin gerçekten bir fonksiyon olabilmesi için tanım kümesinde bulunan elemanlardan hiçbiri boşta kalmamalı ve her biri değer kümesindeki bir elemanla eşleşmelidir. Ayrıca tanım kümesindeki herhangi bir eleman, değer kümesindeki bir elemanla birden fazla kez eşleşmemelidir. Ancak değer kümesinde boşta eleman kalabilir. Bunu bir çocuğun iki annesi olamayacağı örneğiyle açıklayabiliriz.

Örneğin, A kümesindeki elemanlar radyo, televizyon ve sinema olsun. B kümesindeki elemanlar ise zaman, saniye, dakika ve saat olsun. A'dan B'ye bir fonksiyon tanımlayacaksak, A kümesindeki elemanları B kümesindeki elemanlarla eşlemeliyiz. Fonksiyonlar şema yöntemi veya liste yöntemi ile gösterilebilir.

A'dan B'ye liste yöntemi ile bir fonksiyon tanımlayalım; f = {(Radyo, saniye), (Televizyon, dakika), (Sinema, saat)} şeklinde olabilir. Bu fonksiyonda, B kümesindeki bazı elemanların karşılığı tanım kümesinde yer almamaktadır, fakat bu bir sorun teşkil etmez. Çünkü önemli olan, A kümesindeki yani tanım kümesindeki elemanların boşta kalmamasıdır. Bu fonksiyon, tanımlanabilecek fonksiyonlardan yalnızca bir tanesidir. Bu şekilde tanımlanabilecek 64 farklı fonksiyon bulunur.

A'dan B'ye tanımlanan fonksiyon sayısı, A kümesindeki eleman sayısının B kümesindeki eleman sayısına üssü olarak yazılmasıyla bulunur. Yani A kümesinde üç eleman, B kümesinde ise dört eleman olduğuna göre; dört üssü üçten, \(4^3 = 64\) fonksiyon bulunur. Ayrıca fonksiyonlar, içine, birebir, örten, birim ve sabit fonksiyon olmak üzere çeşitlendirilir ve bu fonksiyon çeşitlerinin özellikleriyle çeşitli fonksiyonel işlemler yapılabilir.

A kümesinden B kümesine tanımlanan bir fonksiyonun, A kümesindeki her elemanın B kümesindeki elemanla yer değiştirdiği fonksiyonlara ters fonksiyon denir. Ters fonksiyon, \(f^{-1}\) ile gösterilir. Bir fonksiyonun ters fonksiyon olabilmesi için örten ve birebir fonksiyon olması gerekir.

Örnek olarak, yukarıda verilen fonksiyonun ters fonksiyon olma durumu yoktur. Çünkü fonksiyon örten olmazsa, ters fonksiyon tanım kümesi ve değer kümesinin yerleri değiştirildiğinde B kümesindeki elemanlardan biri boşta kalacağı için fonksiyonun tanımına uygun değildir. Aynı şekilde, fonksiyon birebir fonksiyon olmazsa, tanım kümesinde bulunan iki eleman değer kümesinde bulunan aynı elemana gitmişse, fonksiyonun ters fonksiyonu alındığında bu sefer tanım kümesinden bir eleman, değer kümesinden iki elemana gitmiş olacaktır ki bu da fonksiyon değildir.

Birebir fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde yalnızca bir karşılığı olması demektir. Örten fonksiyon ise değer kümesiyle görüntü kümesinin aynı olduğu, yani değer kümesinde boşta eleman kalmadığını gösteren fonksiyondur.

Fonksiyonlar ve ters fonksiyonlar, matematiğin önemli konularından biridir ve birçok alanda uygulanabilir. Bu sebeple, fonksiyonların ve ters fonksiyonların doğru anlaşılması ve kullanılabilmesi büyük önem taşır.