İki fonksiyonun bileşkesi, verilen iki ayrı fonksiyonun birleştirilmesi sonucu oluşan tek bir fonksiyona denir. Örnek verecek olursak, bir fabrika ürettiği ürünü %30 karla toptancıya satar. Toptancı da aldığı bu ürünü %15 karla müşteriye satar. Müşterinin malı ne kadar zamlı fiyattan aldığını hesaplamak iki işlemi birleştirmek gerekir. Bu örnekte müşteri ürünü %49,5 karla zamla almaktadır.
Bir x sayısı f makinesine girip işleme uğradıktan sonra 3 kat genişliyor ve ürüne makine iki parça ekliyor. Yani f makinesi ürünü 3x+2 haline getirmiş oldu. Bu f makinesinden çıkan ürün(3x+2) hemen g makinesine giriyor. G makinesi de ürünü 2 kat genişletiyor ve üründen 1 parça çıkarıyor. Yani g makinesi ürüne şu işlemi uyguluyor: 2(3x+2)-1= 6x+4-1= 6x+3. f makinesine giren x ürünü f ve g makinelerinin birleşiminden 6x+3 olarak çıkmıştır. Tarif edilen bu süreç iki fonksiyonun bileşkesi işlemidir.
f: A --> B, f(x)=y, g: B --> C, g(y)= z fonksiyonları için, h: A --> C, h(x)= z= g(f(x))= (gof)(x) şeklinde tanımlanan fonksiyon g bileşke f fonksiyonu yani iki fonksiyonun bileşkesidir.
Örnek: f ve g fonksiyonları R'den R'ye tanımlı iki fonksiyondur.
f(x)= x+5 ve g(x)= 3x-1 olarak veriliyor. Buna göre;
a) (gof)(x)=?
b) (fog)(x)=?
c) (gof)(3)=?
d) (fog)(4)=?
Çözüm:
a) (gof)(x)= g(f(x))= g(x+5)=3(x+5)-1= 3x+15-1=3x+14
b) (fog)(x)= f(g(x))= f(3x-1)= 3x-1+5= 3x+4
c) (gof)(x)= 3x+14 --> (gof)(3)= 3.3+14= 9+14= 23
d) (fog)(x)= 3x+4 --> (fog)(4)= 3.4+4=12+4 = 16
Örnek: f.g ve h fonksiyonları R'den R'ye tanımlı fonksiyonlardır. f(x)= 3x-2, g(x)=1-3x ve h(x)= 2x+7 fonksiyonları veriliyor. Buna göre aşağıdaki değerleri hesaplayalım.
a) [(fog)oh](x)=?
b) [(hog)of](x)=?
Çözüm:
a) İşlemi kolaylaştırmak için önce (fog)(x) bileşke fonksiyonunu bulalım.
(fog)(x)= f(g(x))= f(1-3x)= 3(1-3x)-2= 3-9x-2= 1-9x --> fog(h(x))= fog(2x+7)= 1-9(2x+7)= 1-18x-63= -18x-62
[(fog)oh](x)= -18x-62
b) (hog)(x)= h(g(x))= h(1-3x)= 2(1-3x)+7= 2-6x+7= 9-6x --> hog(f(x))= hog(3x-2)= 9-6(3x-2)= 9-18x-12= -18x-3
Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır ancak değişme özelliği yoktur.
Özellikler
(fog)oh= fo(goh) [Birleşme özellliği]
fog ≠ gof (Değişme özelliği yoktur.)
foI= Iof= f
(fof-1)(x)= (f-1of) (x)= l (x)= x
f ve g birebir ve örten fonksiyonlar olmak üzere; (fog)-1= g-1 of-1 dir.
(f-1)-1= f